vsebina
V tej publikaciji bomo preučili definicijo ranga matrike in metode, s katerimi jo je mogoče najti. Analizirali bomo tudi primere za prikaz uporabe teorije v praksi.
Določanje ranga matrike
Matrični rang je rang njegovega sistema vrstic ali stolpcev. Vsaka matrika ima svoj rang vrstice in stolpca, ki sta med seboj enaka.
Sistemski vrstni red je največje število linearno neodvisnih vrstic. Na podoben način se določi rang sistema stolpcev.
Opombe:
- Rang ničelne matrike (označeno s simbolom "θ“) katere koli velikosti je nič.
- Rang katerega koli vektorja vrstice ali vektorja stolpca, ki ni nič, je enak ena.
- Če matrika katerekoli velikosti vsebuje vsaj en element, ki ni enak nič, potem njen rang ni manjši od ena.
- Rang matrike ni večji od njene minimalne dimenzije.
- Elementarne transformacije, izvedene na matriki, ne spremenijo njenega ranga.
Iskanje ranga matrike
Metoda fringing minor
Rang matrike je enak najvišjemu redu neničelne vrednosti.
Algoritem je naslednji: poiščite manjše od najnižjih do najvišjih. Če je manjši nvrstni red ni enak nič, vsi naslednji (n+1) so enake 0, zato je rang matrike enak n.
Primer
Da bo bolj jasno, vzemimo praktičen primer in poiščimo rang matrike A spodaj z uporabo metode obrobljanja mladoletnikov.
Rešitev
Opravka imamo z matriko 4 × 4, zato njen rang ne more biti višji od 4. Poleg tega so v matriki različni elementi, kar pomeni, da njen rang ni manjši od ena. Pa začnimo:
1. Začnite preverjati mladoletniki drugega reda. Za začetek vzamemo dve vrstici prvega in drugega stolpca.
Minor je enak nič.
Zato preidemo na naslednji manjši (prvi stolpec ostane, namesto drugega pa vzamemo tretjega).
Minor je 54≠0, torej je rang matrike najmanj dva.
Opomba: Če bi se izkazalo, da je ta minor enak nič, bi dodatno preverili naslednje kombinacije:
Po potrebi lahko naštevanje nadaljujemo na enak način z nizi:
- 1 in 3;
- 1 in 4;
- 2 in 3;
- 2 in 4;
- 3 in 4.
Če bi bili vsi minori drugega reda enaki nič, bi bil rang matrike enak ena.
2. Skoraj takoj nama je uspelo najti mladoletnika, ki nama ustreza. Pa pojdimo naprej mladoletniki tretjega reda.
Najdenemu minorju drugega reda, ki je dal rezultat različen od nič, dodamo eno vrstico in enega od zeleno označenih stolpcev (izhajamo iz drugega).
Minor se je izkazal za nič.
Zato spremenimo drugi stolpec v četrtega. In v drugem poskusu nam uspe najti minor, ki ni enak nič, kar pomeni, da rang matrike ne more biti manjši od 3.
Opomba: če bi se rezultat ponovno izkazal za nič, bi namesto druge vrstice peljali četrto naprej in nadaljevali z iskanjem »dobrega« minora.
3. Zdaj je še treba določiti mladoletniki četrtega reda glede na prej ugotovljeno. V tem primeru je to tisti, ki se ujema z determinanto matrike.
Minor je enak 144≠0. To pomeni, da je rang matrike A enako 4.
Redukcija matrike na stopničasto obliko
Rang matrike korakov je enak številu njenih neničelnih vrstic. To pomeni, da moramo matriko spraviti v ustrezno obliko, na primer z uporabo , ki, kot smo omenili zgoraj, ne spremeni njenega ranga.
Primer
Poiščite rang matrike B spodaj. Ne vzamemo preveč zapletenega primera, saj je naš glavni cilj preprosto prikazati uporabo metode v praksi.
Rešitev
1. Najprej od druge vrstice odštejte podvojeno prvo.
2. Sedaj odštejte prvo vrstico od tretje vrstice, pomnoženo s štiri.
Tako smo dobili stopničasto matriko, v kateri je število neničelnih vrstic enako dve, zato je tudi njen rang enak 2.