Ekstrakcija korena kompleksnega števila

V tej publikaciji si bomo ogledali, kako lahko povzamete koren kompleksnega števila in kako lahko to pomaga pri reševanju kvadratnih enačb, katerih diskriminanta je manjša od nič.

Ekstrakcija korena kompleksnega števila

Kvadratni koren

Kot vemo, je nemogoče vzeti koren iz negativnega realnega števila. Ko pa gre za kompleksna števila, je to dejanje mogoče izvesti. Ugotovimo.

Recimo, da imamo številko z = -9. Forum √-9 obstajata dve korenini:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Dobljene rezultate preverimo z rešitvijo enačbe z² = -9, ne pozabite na to i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Tako smo to dokazali -3i и 3i so korenine √-9.

Koren negativnega števila je običajno zapisan takole:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i in tako naprej

Koren na potenco n

Recimo, da so nam dane enačbe oblike z = ⁿ√w… Ima n korenine (z₀, Od₁, Od₂,…, z_n-1), ki se lahko izračuna s spodnjo formulo:

|w| je modul kompleksnega števila w;

φ – njegov argument

k je parameter, ki ima vrednosti: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Kvadratne enačbe s kompleksnimi koreni

Izvleček korena negativnega števila spremeni običajno predstavo o uXNUMXbuXNUMXb. Če je diskriminant (D) manjše od nič, potem ne more biti realnih korenin, lahko pa jih predstavimo kot kompleksna števila.

Primer

Rešimo enačbo x² – 8x + 20 = 0.

Rešitev

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D < 0, vendar lahko še vedno vzamemo koren negativne diskriminacije:

√D = √-16 = ±4i

Zdaj lahko izračunamo korenine:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Zato enačba x² – 8x + 20 = 0 ima dva kompleksna konjugirana korena:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i