Dvigovanje kompleksnega števila na naravno potenco

V tej publikaciji bomo preučili, kako lahko kompleksno število dvignemo na potenco (vključno z uporabo De Moivrejeve formule). Teoretično gradivo spremljajo primeri za boljše razumevanje.

Dvigovanje kompleksnega števila na potenco

Najprej si zapomnite, da ima kompleksno število splošno obliko: z = a + bi (algebraična oblika).

Zdaj lahko nadaljujemo neposredno z rešitvijo problema.

Kvadratno število

Stopnjo lahko predstavimo kot zmnožek istih faktorjev in nato poiščemo njihov zmnožek (pri čemer si to zapomnimo i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Primer 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Uporabite lahko tudi, in sicer kvadrat vsote:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Opomba: Na enak način lahko po potrebi dobimo formule za kvadrat razlike, kub vsote / razlike itd.

N-ta stopnja

Povečajte kompleksno število z v naravi n veliko lažje, če ga predstavimo v trigonometrični obliki.

Spomnimo se, da na splošno zapis števila izgleda takole: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Za potenciranje lahko uporabite De Moivrejeva formula (tako imenovan po angleškem matematiku Abrahamu de Moivreju):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Formulo dobimo tako, da zapišemo v trigonometrični obliki (moduli se pomnožijo, argumenti pa seštejejo).

Primer 2

Povečajte kompleksno število z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) do osme stopnje.

Rešitev

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).