V tej publikaciji bomo preučili, kaj je Gaussova metoda, zakaj je potrebna in kakšen je njen princip. Na praktičnem primeru bomo tudi prikazali, kako lahko metodo uporabimo za reševanje sistema linearnih enačb.
Opis Gaussove metode
Gaussova metoda je klasična metoda zaporednega izločanja spremenljivk, ki se uporabljajo za reševanje. Ime je dobil po nemškem matematiku Carlu Friedrichu Gaussu (1777-1885).
Najprej pa se spomnimo, da lahko SLAU:
- imeti eno samo rešitev;
- imajo neskončno število rešitev;
- biti nekompatibilni, tj. nimajo rešitev.
Praktične koristi
Gaussova metoda je odličen način za reševanje SLAE, ki vključuje več kot tri linearne enačbe, kot tudi sisteme, ki niso kvadratni.
Princip Gaussove metode
Metoda vključuje naslednje korake:
- naravnost – povečana matrika, ki ustreza sistemu enačb, se mimogrede reducira nad vrsticami v zgornjo trikotno (stopničasto) obliko, tj. pod glavno diagonalo naj bodo le elementi enaki nič.
- nazaj – v dobljeni matriki so tudi elementi nad glavno diagonalo postavljeni na nič (spodnji trikotni pogled).
Primer rešitve SLAE
Rešimo spodnji sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo.
Rešitev
1. Za začetek predstavimo SLAE v obliki razširjene matrike.
2. Zdaj je naša naloga ponastaviti vse elemente pod glavno diagonalo. Nadaljnji ukrepi so odvisni od specifične matrike, spodaj bomo opisali tiste, ki veljajo za naš primer. Najprej zamenjamo vrstice in tako postavimo njihove prve elemente v naraščajočem vrstnem redu.
3. Od druge vrstice dvakrat odštejte prvo, od tretje pa potrojite prvo.
4. Tretji vrstici dodajte drugo vrstico.
5. Od prve vrstice odštejemo drugo vrstico in istočasno tretjo vrstico delimo z -10.
6. Prva faza je končana. Zdaj moramo dobiti ničelne elemente nad glavno diagonalo. Če želite to narediti, od prve vrstice odštejte tretjino, pomnoženo s 7, in drugi dodajte tretjino, pomnoženo s 5.
7. Končna razširjena matrika je videti takole:
8. Ustreza sistemu enačb:
Odgovor: koren SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.