Lastnosti višine pravokotnega trikotnika

V tej publikaciji bomo obravnavali glavne lastnosti višine v pravokotnem trikotniku in analizirali tudi primere reševanja problemov na to temo.

Opomba: trikotnik se imenuje pravokotne, če je eden od njegovih kotov pravi (enak 90°), druga dva pa sta ostra (<90°).

Lastnosti višine v pravokotnem trikotniku

Lastnost 1

Pravokotni trikotnik ima dve višini (h₁ и h₂) sovpadajo z njegovimi kraki.

tretja višina (h₃) se spusti na hipotenuzo pod pravim kotom.

Lastnost 2

Ortocenter (točka presečišča višin) pravokotnega trikotnika je na vrhu pravega kota.

Lastnost 3

Višina v pravokotnem trikotniku, potegnjena na hipotenuzo, ga deli na dva podobna pravokotna trikotnika, ki sta tudi podobna prvotnemu.

1. △ZDA ~ △ABC pod dvema enakima kotoma: ∠ADB = ∠LAK (ravne črte), ∠ZDA = ∠ABC.

2. △ADC ~ △ABC pod dvema enakima kotoma: ∠ADC = ∠LAK (ravne črte), ∠ACD = ∠ACB.

3. △ZDA ~ △ADC pod dvema enakima kotoma: ∠ZDA = ∠DAC, ∠BAD = ∠ACD.

Dokaz: ∠BAD = 90° – ∠ABD (ABC). Hkrati ∠ACD (ACB) = 90° – ∠ABC.

Zato, ∠BAD = ∠ACD.

Na podoben način lahko dokažemo, da je ∠ZDA = ∠DAC.

Lastnost 4

V pravokotnem trikotniku se višina, potegnjena na hipotenuzo, izračuna na naslednji način:

1. Skozi segmente na hipotenuzi, ki nastane kot posledica njegove delitve z osnovo višine:

2. Skozi dolžine stranic trikotnika:

Ta formula izhaja iz Lastnosti sinusa ostrega kota v pravokotnem trikotniku (sinus kota je enak razmerju nasprotne noge proti hipotenuzi):

Opomba: za pravokotni trikotnik veljajo tudi splošne lastnosti višine, predstavljene v naši publikaciji.

Primer problema

1. naloga

Hipotenuza pravokotnega trikotnika je z višino, ki ji je narisana, razdeljena na segmenta 5 in 13 cm. Poiščite dolžino te višine.

Rešitev

Uporabimo prvo formulo, predstavljeno v Lastnost 4:

2. naloga

Krata pravokotnega trikotnika sta 9 in 12 cm. Poiščite dolžino nadmorske višine, narisano na hipotenuzo.

Rešitev

Najprej poiščemo dolžino hipotenuze (naj bodo kraki trikotnika "do" и "B", hipotenuza pa je "vs"):

c² =A² + b² = 9² + 12² = 225.

Posledično с = 15 cm.

Zdaj lahko uporabimo drugo formulo iz Lastnosti 4obravnavano zgoraj: