Kakšna je meja funkcije

V tej publikaciji bomo obravnavali enega glavnih konceptov matematične analize - mejo funkcije: njeno definicijo, pa tudi različne rešitve s praktičnimi primeri.

Določanje limita funkcije

Omejitev delovanja – vrednost, h kateri teži vrednost te funkcije, ko njen argument teži k mejni točki.

Mejni zapis:

• meja je označena z ikono lim;
• spodaj je dodano, h kateri vrednosti teži argument (spremenljivka) funkcije. Ponavadi to x, ni pa nujno, npr.x→1″;
• potem je funkcija sama dodana na desni, na primer:

  

Tako je končni zapis limita videti tako (v našem primeru):

Bere se kot "meja funkcije, ko x teži k enoti".

x→ 1 – to pomeni, da "x" dosledno prevzema vrednosti, ki se neskončno približujejo enotnosti, vendar nikoli ne bodo sovpadale z njo (ne bodo dosežene).

Odločitvene meje

Z določeno številko

Rešimo zgornjo mejo. Če želite to narediti, preprosto zamenjajte enoto v funkciji (ker x→1):

Tako za rešitev meje najprej poskušamo dano število preprosto nadomestiti s funkcijo pod njim (če se x nagiba k določenemu številu).

Z neskončnostjo

V tem primeru argument funkcije neskončno narašča, tj. "X" teži v neskončnost (∞). Na primer:

If x→∞, potem dana funkcija teži k minus neskončnosti (-∞), ker:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 itd.

Še en bolj zapleten primer

Da bi rešili to mejo, preprosto povečajte vrednosti x in poglejte "obnašanje" funkcije v tem primeru.

• RџSÐRё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSÐRё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSÐRё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Tako za "X"ki teži v neskončnost, funkcija x² +3x –6 raste v nedogled.

Z negotovostjo (x teži k neskončnosti)

V tem primeru govorimo o mejah, ko je funkcija ulomek, katerega števec in imenovalec sta polinoma. pri čemer "X" teži v neskončnost.

primer: izračunajmo mejo spodaj.

Rešitev

Izrazi tako v števcu kot v imenovalcu težijo k neskončnosti. Lahko se domneva, da bo v tem primeru rešitev naslednja:

Vendar pa ni vse tako preprosto. Za rešitev limita moramo narediti naslednje:

1. Najdi x na največjo potenco za števec (v našem primeru je to dve).

2. Podobno definiramo x na največjo potenco za imenovalec (prav tako je enako dve).

3. Sedaj delimo števec in imenovalec z x v višji stopnji. Pri nas v obeh primerih – v drugem, a če bi bili različni, bi morali vzeti najvišjo stopnjo.

4. V dobljenem rezultatu vsi ulomki težijo k nič, zato je odgovor 1/2.

Z negotovostjo (x se nagiba k določenemu številu)

Vendar sta tako števec kot imenovalec polinoma, "X" teži k določenemu številu, ne k neskončnosti.

V tem primeru si pogojno zamižimo pred dejstvom, da je imenovalec enak nič.

primer: Poiščimo mejo spodnje funkcije.

Rešitev

1. Najprej zamenjajmo številko 1 v funkcijo, kateri "X". Dobimo negotovost oblike, ki jo obravnavamo.

2. Nato števec in imenovalec razstavimo na faktorje. Za to lahko uporabite skrajšane formule za množenje, če so primerne, oz.

V našem primeru so korenine izraza v števcu (2x² – 5x + 3 = 0) sta številki 1 in 1,5. Zato ga je mogoče predstaviti kot: 2(x-1)(x-1,5).

Imenovalec (x–1) je sprva preprosto.

3. Dobimo tako spremenjeno mejo:

4. Ulomek lahko zmanjšamo za (x–1):

5. Ostaja samo zamenjava številke 1 v izrazu, dobljenem pod mejo: