Fermatov mali izrek

V tej publikaciji bomo obravnavali enega glavnih izrekov v teoriji celih števil –  Fermatov mali izrekpoimenovana po francoskem matematiku Pierru de Fermatu. Analizirali bomo tudi primer reševanja problema za utrditev predstavljenega gradiva.

Izjava izreka

1. Začetna

If p je praštevilo a je celo število, ki ni deljivo z pPOTEM a^p-1 - 1 deljeno s p.

Formalno je zapisano takole: a^p-1 ≡ 1 (proti p).

Opomba: Praštevilo je naravno število, ki je deljivo samo z XNUMX in samo s seboj brez ostanka.

Na primer:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• Številka 15 deljeno s 5 brez ostanka.

2. Alternativa

If p je praštevilo, a poljubno celo število, torej a^p primerljivo z a modul p.

a^p . A (proti p)

Zgodovina iskanja dokazov

Pierre de Fermat je leta 1640 oblikoval izrek, vendar ga sam ni dokazal. Kasneje je to storil Gottfried Wilhelm Leibniz, nemški filozof, logik, matematik itd. Domneva se, da je imel dokaz že leta 1683, čeprav ni bil nikoli objavljen. Omeniti velja, da je Leibniz sam odkril izrek, ne da bi vedel, da je bil formuliran že prej.

Prvi dokaz izreka je bil objavljen leta 1736, pripada pa Švicarju, Nemcu ter matematiku in mehaniku Leonhardu Eulerju. Fermatov mali izrek je poseben primer Eulerjevega izreka.

Primer problema

Poišči preostanek števila 2¹² on 12.

Rešitev

Predstavljajmo si številko 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 je praštevilo, zato s Fermatovim majhnim izrekom dobimo:

2¹¹ ≡ 2 (proti 11).

Zato 2⋅2¹¹ ≡ 4 (proti 11).

Torej številka 2¹² deljeno s 12 z ostankom enakim 4.