Iskanje inverzne matrike

V tej publikaciji bomo preučili, kaj je inverzna matrika, in tudi na praktičnem primeru bomo analizirali, kako jo je mogoče najti s posebno formulo in algoritmom za zaporedna dejanja.

Definicija inverzne matrike

Najprej se spomnimo, kaj so recipročne vrednosti v matematiki. Recimo, da imamo število 7. Potem bo njegovo obratno število 7^-1 or ¹/₇. Če pomnožite ta števila, bo rezultat ena, torej 7 7^-1 = 1.

Skoraj enako je z matricami. Povratne taka matrika se imenuje, pomnožimo jo z izvirno, dobimo identiteto. Označena je kot A^-1.

A · A^-1 =E

Algoritem za iskanje inverzne matrike

Če želite najti inverzno matriko, morate biti sposobni izračunati matrike, pa tudi imeti veščine za izvajanje določenih dejanj z njimi.

Takoj je treba opozoriti, da je obratno mogoče najti samo za kvadratno matriko, in to storite s spodnjo formulo:

|A| – matrična determinanta;

A^T_M je transponirana matrika algebraičnih dodatkov.

Opomba: če je determinanta nič, potem inverzna matrika ne obstaja.

Primer

Poiščimo matriko A spodaj je obratna stran.

Rešitev

1. Najprej poiščimo determinanto dane matrike.

2. Sedaj naredimo matrico, ki ima enake dimenzije kot prvotna:

Ugotoviti moramo, katere številke naj nadomestijo zvezdice. Začnimo z zgornjim levim elementom matrike. Manjšega mu poiščemo tako, da prečrtamo vrstico in stolpec, v katerem se nahaja, torej v obeh primerih na številki ena.

Število, ki ostane za prečrtanim, je zahtevani manjše, tj M₁₁ = 8.

Podobno najdemo minore za preostale elemente matrike in dobimo naslednji rezultat.

3. Določimo matriko algebraičnih dodatkov. Kako jih izračunati za vsak element, smo obravnavali ločeno.

Na primer za element a₁₁ algebraično dodajanje se obravnava kot sledi:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. Izvedite transpozicijo dobljene matrike algebraičnih dodatkov (tj. zamenjajte stolpce in vrstice).

5. Za iskanje inverzne matrike ostane samo uporaba zgornje formule.

Odgovor lahko pustimo v tej obliki, ne da bi elemente matrike delili s številom 11, saj v tem primeru dobimo grda ulomna števila.

Preverjanje rezultata

Da se prepričamo, da smo dobili inverz originalne matrike, lahko poiščemo njihov produkt, ki naj bi bil enak identitetni matriki.

Kot rezultat smo dobili matriko identitete, kar pomeni, da smo vse naredili prav.