Sistem linearnih algebrskih enačb

V tej publikaciji bomo preučili definicijo sistema linearnih algebrskih enačb (SLAE), kako izgleda, kakšne vrste obstajajo in kako ga predstaviti v matrični obliki, vključno z razširjeno.

Definicija sistema linearnih enačb

Sistem linearnih algebrskih enačb (ali na kratko "SLAU") je sistem, ki na splošno izgleda takole:

• m je število enačb;
• n je število spremenljivk.
• x₁, x₂,…, x_n – neznano;
• a₁₁,₁₂…, a_mn – koeficienti za neznanke;
• b₁, b₂,…, b_m – brezplačni člani.

Indeksi koeficientov (a_ij) se oblikujejo na naslednji način:

• i je številka linearne enačbe;
• j je številka spremenljivke, na katero se nanaša koeficient.

SLAU rešitev – takšne številke c₁, C₂,…, c_n , v postavitvi katerega namesto x₁, x₂,…, x_n, se bodo vse enačbe sistema spremenile v identitete.

Vrste SLAU

1. Homogena – vsi prosti člani sistema so enaki nič (b₁ =b₂ = … = b_m = 0).

   

2. Heterogena – če zgornji pogoj ni izpolnjen.
3. Trg – število enačb je enako številu neznank, tj m = n.

   

4. Premalo določen – število neznank je večje od števila enačb.

   

5. razveljavljen Enačb je več kot spremenljivk.

   

Glede na število rešitev je SLAE lahko:

1. Skupni ima vsaj eno rešitev. Poleg tega, če je edinstven, se sistem imenuje določen, če je več rešitev, se imenuje nedoločen.

   

   Zgornji SLAE je skupen, ker obstaja vsaj ena rešitev: x = 2, y = 3.

2. nezdružljiva Sistem nima rešitev.

   

   Desne strani enačb so enake, leve pa ne. Rešitve torej ni.

Matrični zapis sistema

SLAE je mogoče predstaviti v matrični obliki:

AX = B

• A je matrika, ki jo tvorijo koeficienti neznank:

  

• X – stolpec spremenljivk:

  

• B – stolpec brezplačnih članov:

  

Primer

Spodnji sistem enačb predstavljamo v matrični obliki:

S pomočjo zgornjih obrazcev sestavimo glavno matriko s koeficienti, stolpci z neznanimi in prostimi členi.

Celoten zapis danega sistema enačb v matrični obliki:

Razširjena matrika SLAE

Če na matriko sistema A dodajte stolpec brezplačnih članov na desni B, pri čemer podatke ločite z navpično črto, dobite razširjeno matriko SLAE.

Za zgornji primer je videti takole:

– oznaka razširjene matrike.