vsebina
V tej publikaciji bomo obravnavali enega od klasičnih izrekov afine geometrije - izrek Ceva, ki je dobil takšno ime v čast italijanskega inženirja Giovannija Ceva. Analizirali bomo tudi primer reševanja problema, da bi utrdili predstavljeno gradivo.
Izjava izreka
Podan trikotnik ABC, v kateri je vsako oglišče povezano s točko na nasprotni strani.
Tako dobimo tri segmente (AA', BB ' и CC '), ki se imenujejo cevians.
Ti segmenti se sekajo v eni točki, če in samo če velja naslednja enakost:
|IN'| |NE'| |CB'| = |BC'| |SHIFT'| |AB'|
Izrek lahko predstavimo tudi v tej obliki (določimo, v kakšnem razmerju točke delijo stranice):
Cevaov trigonometrični izrek
Opomba: vsi vogali so usmerjeni.
Primer problema
Podan trikotnik ABC s pikami TO', B ' и C ' na straneh BC, AC и AB, oz. Oglišča trikotnika so povezana z danimi točkami, oblikovani segmenti pa potekajo skozi eno točko. Hkrati pa točke TO' и B ' vzeto na sredinah ustreznih nasprotnih stranic. Ugotovite, v kakšnem razmerju je točka C ' deli stran AB.
Rešitev
Narišimo risbo glede na pogoje problema. Za naše udobje sprejmemo naslednji zapis:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Ostaja le sestaviti razmerje segmentov po izreku Ceva in vanj nadomestiti sprejeto notacijo:
Po zmanjšanju ulomkov dobimo:
Zato AC' = C'B, tj C ' deli stran AB na pol.
Zato so v našem trikotniku segmenti AA', BB ' и CC ' so mediane. Po rešitvi naloge smo dokazali, da se sekata v eni točki (velja za vsak trikotnik).
Opomba: s Cevaovim izrekom lahko dokažemo, da se v trikotniku v eni točki sekajo tudi simetrale oziroma višine.