Navzkrižni produkt vektorjev

V tej publikaciji bomo preučili, kako najti navzkrižni produkt dveh vektorjev, podali geometrijsko interpretacijo, algebraično formulo in lastnosti tega dejanja ter analizirali primer reševanja problema.

Geometrijska interpretacija

Vektorski produkt dveh neničelnih vektorjev a и b je vektor c, ki je označen kot [a, b] or a x b.

Dolžina vektorja c je enaka površini paralelograma, zgrajenega z uporabo vektorjev a и b.

V tem primeru, c pravokotno na ravnino, v kateri so a и b, in se nahaja tako, da je najmanjša rotacija od a к b je bila izvedena v nasprotni smeri urinega kazalca (z vidika konca vektorja).

Formula navzkrižnega produkta

Produkt vektorjev a = {a_x; do_y,_z} jaz b = {b_x; b_y, b_z} se izračuna z uporabo ene od spodnjih formul:

Lastnosti navzkrižnega izdelka

1. Križni produkt dveh neničelnih vektorjev je enak nič, če in samo če sta ta vektorja kolinearna.

[a, b] = 0Če a || b.

2. Modul navzkrižnega produkta dveh vektorjev je enak površini paralelograma, ki ga tvorita ta vektorja.

S_vzporedno = |a x b|

3. Območje trikotnika, ki ga tvorita dva vektorja, je enako polovici njihovega vektorskega produkta.

S_Δ = ¹/₂ · |a x b|

4. Vektor, ki je presek dveh drugih vektorjev, je pravokoten nanju.

c ⟂ a, c ⟂ b.

5. a x b = -b x a

6. (m a) x a = a x (m b) = m (a x b)

ena. (a + b) x c = a x c + b x c

Primer problema

Izračunajte navzkrižni produkt a = {2; 4; 5} и b = {9; - dva; 3}.

Sklep:

Odgovor: a x b = {19; 43; -42}.